Rešenje
Uslov za poslednje dve cifre
Broj je deljiv sa 4 ako je broj koji obrazuju poslednje dve cifre deljiv sa 4. Neka su te cifre d i e. Zbog strogo opadajućeg redosleda važi d > e, dok su prve tri cifre sve veće od d.
Moguće vrednosti pretposlednje cifre
Iznad cifre d moraju postojati bar tri cifre, pa je d ≤ 6. Kako je d > e ≥ 0, proveravamo d = 1, 2, …, 6. Uslov deljivosti je:
\[10d+e\equiv2d+e\equiv0\pmod4.\]
Ako je d parno, e je 0 ili 4, uz e < d. Ako je d neparno, e mora biti 2 ili 6, opet uz e < d. Dobijamo tačno završetke 20, 32, 40, 52, 60 i 64.
Izbor prve tri cifre
Za fiksirano d biramo tri cifre iz skupa {d + 1, …, 9}. Njihov opadajući raspored je jedinstven, pa ne množimo sa 3!.
| Završetak | Cifre dostupne za prva tri mesta | Broj izbora |
|---|---|---|
| 20 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | \(\binom{7}{3}=35\) |
| 32 | 4, 5, 6, 7, 8, 9 | \(\binom{6}{3}=20\) |
| 40 | 5, 6, 7, 8, 9 | \(\binom{5}{3}=10\) |
| 52 | 6, 7, 8, 9 | \(\binom{4}{3}=4\) |
| 60 | 7, 8, 9 | \(\binom{3}{3}=1\) |
| 64 | 7, 8, 9 | \(\binom{3}{3}=1\) |
Zbir svih slučajeva
\[N=35+20+10+4+1+1=71.\]