∑ Math BrotherhoodKOMBINATORIKA
Komplement · Pravilo proizvoda

Bar dve susedne jednake cifre

Lakše je prebrojati brojeve kod kojih se svake dve susedne cifre razlikuju.

Zadatak 13 Izvorni broj: 19

Broj svih četvorocifrenih brojeva koji ne sadrže cifru 0 i koji imaju bar dve susedne cifre iste, jednak je:

  1. A) 1980
  2. B) 1953
  3. C) 2007
  4. D) 1926
  5. E) 2034
  6. N) Ne znam.

Rešenje

Svi brojevi bez nule

Na svakom od četiri mesta može stajati bilo koja cifra od 1 do 9. Bez uslova o susedima postoji:

\[N_{\mathrm{svi}}=9^4=6561.\]

Brojevi bez jednakih suseda

Prvu cifru biramo na 9 načina. Svaku sledeću biramo na 8 načina, jer se mora razlikovati samo od prethodne cifre. Ponavljanje neke ranije, nesusedne cifre dozvoljeno je:

\[N_{\mathrm{bez}}=9\cdot8^3=4608.\]

Oduzimanje komplementa

Traženi su svi ostali brojevi, odnosno oni koji imaju najmanje jedan par jednakih susednih cifara:

\[N=9^4-9\cdot8^3=6561-4608=1953.\]

Rezultat

Tačan odgovor: B
\[\boxed{1953}\]

Brojevi sa više jednakih susednih parova, poput 1111, računaju se samo jednom. Oduzimanje komplementa automatski izbegava višestruko brojanje.