∑ Math BrotherhoodKOMBINATORIKA
Permutacije · Metoda praznih mesta

Raspored dečaka i devojčica

Dečake postavljamo u različite praznine između i oko devojčica.

Zadatak 14 Izvorni broj: 20

Broj načina na koji se 4 dečaka i 6 devojčica mogu rasporediti u jednu vrstu, tako da nikoja dva dečaka ne budu raspoređeni jedan pored drugog, jednak je:

  1. A) 140 · 7!
  2. B) 160 · 7!
  3. C) 150 · 7!
  4. D) 120 · 7!
  5. E) 180 · 7!
  6. N) Ne znam.

Rešenje

Raspored devojčica

Šest različitih devojčica možemo poređati na 6! načina. Njihov raspored stvara sedam praznina: pet između susednih devojčica i dve na krajevima vrste.

\[\_\;G_1\;\_\;G_2\;\_\;G_3\;\_\;G_4\;\_\;G_5\;\_\;G_6\;\_\]

Izbor praznina za dečake

Da dva dečaka ne budu susedna, u svaku prazninu smemo staviti najviše jednog dečaka. Od sedam praznina biramo četiri, a zatim četiri različita dečaka raspoređujemo na 4! načina:

\[N=6!\binom{7}{4}4!.\]

Svođenje na ponuđeni oblik

\[\begin{aligned}N&=6!\cdot\frac{7!}{4!\,3!}\cdot4!\\&=\frac{6!}{3!}\cdot7!=120\cdot7!=604800.\end{aligned}\]

Rezultat

Tačan odgovor: D
\[\boxed{120\cdot7!=604800}\]

Svako dete je posebna osoba. Faktor 6! raspoređuje devojčice, a 4! raspoređuje dečake u odabrane praznine.