∑ Math BrotherhoodKOMBINATORIKA
Permutacije · Propisani relativni redosled

Obilazak sedam gradova

Beograd, Moskva i Atina moraju zadržati zadati međusobni redosled.

Zadatak 3 Izvorni broj: 18

Turista planira obilazak 7 različitih gradova među kojima su Beograd, Moskva i Atina, pri čemu će svaki grad posetiti tačno jednom. Broj načina na koje može obići planiranih 7 gradova tako da poseti Beograd pre Moskve, a Moskvu pre Atine, jednak je:

  1. A) 1140
  2. B) 1680
  3. C) 1440
  4. D) 720
  5. E) 840
  6. N) Ne znam.

Rešenje

Svi redosledi obilaska

Sedam različitih gradova može se poređati na 7! načina. Obilazak posmatramo kao niz od prvog do sedmog grada.

Relativni redosled tri posebna grada

Tri posebna grada imaju 3! = 6 mogućih međusobnih redosleda. Svaki se pojavljuje jednako često, a nama odgovara samo Beograd → Moskva → Atina.

\[N=\frac{7!}{3!}=\frac{5040}{6}=840.\]

Drugi način: izbor mesta

Izaberemo tri od sedam mesta za posebne gradove. Na njih redom postavljamo Beograd, Moskvu i Atinu, a preostala četiri grada raspoređujemo proizvoljno:

\[N=\binom{7}{3}\cdot4!=35\cdot24=840.\]

Rezultat

Tačan odgovor: E
\[\boxed{840}\]

Ova tri grada ne moraju biti uzastopna u obilasku; važan je samo njihov međusobni redosled.