∑ Math BrotherhoodKOMBINATORIKA
Permutacije · Metoda praznih mesta

Razdvojeni samoglasnici u reči СРБИЈА

Najpre raspoređujemo suglasnike, pa samoglasnike stavljamo u različite praznine.

Zadatak 7 Izvorni broj: 18

Broj svih permutacija slova reči СРБИЈА kod kojih se između dva samoglasnika nalazi bar jedan suglasnik, jednak je:

  1. A) 420
  2. B) 480
  3. C) 440
  4. D) 520
  5. E) 46
  6. N) Ne znam.

Rešenje

Samoglasnici i suglasnici

Samoglasnici su И i А, a suglasnici С, Р, Б i Ј. Svih šest slova je različito. Traženi uslov znači da И i А ne smeju biti susedi.

Raspored suglasnika i izbor praznina

Četiri suglasnika raspoređujemo na 4! načina. Oko njih postoji pet mesta za samoglasnike, uključujući početak i kraj:

\[\_\;C_1\;\_\;C_2\;\_\;C_3\;\_\;C_4\;\_\]

Da samoglasnici ne budu susedni, biramo dve različite praznine i u njih raspoređujemo И i А na 2! načina:

\[N=4!\binom{5}{2}2!=24\cdot10\cdot2=480.\]

Provera preko suprotnog događaja

Od svih permutacija oduzimamo one u kojima samoglasnici čine blok ИА ili АИ:

\[N=6!-2\cdot5!=720-240=480.\]

Rezultat

Tačan odgovor: B
\[\boxed{480}\]

I početna i završna praznina su dozvoljene. Suglasnik Ј nije samoglasnik.